Простые уравнения правило


Простые уравнения правило

Задача №2


\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\] Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований: А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом: Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо: \[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\] Приводим подобные слагаемые: Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много.

В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет. Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус».

Рассмотрим вот это выражение: Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус».

Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением: Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты.

Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения. Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма.

Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Шаг второй — Научите определять, х в уравнении является целым или частью? Самым большим или «маленьким»?

Для этого нам подойдет техника «Яблоко» Задайте ребенку вопрос, где в данном уравнении самое большое? 5+х=17 Ребенок ответит «17». Отлично!

Это будет наше яблоко! Самое большое число — это всегда целое яблоко. Обведем в кружок. А целое всегда состоит из частей. Давай подчеркнем части. 5 и х — части яблока. А раз х — это часть. Она больше или меньше? х большое — или маленькое? Как его найти? Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.

Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.

Умничка! После того, как ребенок поймет, что ключем к правильному решению уравнений является определить, х — целое или часть, он легко будет решать уравнения.

Потому что запомнить правило, когда понимаешь его гораздо проще, чем наоборот: вызубрить и учиться применять.

Данные техники «Кружка» и «Яблоко» позволяют научить ребенка понимать, что он делает и зачем. Когда ребенок понимает предмет, он у него начинает получаться. Когда у ребенка получается, ему это нравится.

Когда нравится, появляется интерес, желание и мотивация.

Когда появляется мотивация — ребенок учится сам. Учите ребенка понимать программу и тогда процесс учебы станет отнимать у Вас значительно меньше времени и сил.

Вам понравилось объяснение данной темы? Именно так, просто и легко, мы учим родителей объяснять школьную программу в «Школе умных детей». Хотите научиться объяснять материалы ребенку также доступно и легко, как в этой статье?

Тогда регистрируйтесь бесплатно на 40 уроков школы умных детей прямо сейчас по кнопке ниже. Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять

Пример №1

\[12-\left( 1-6x \right)x=3x\left( 2x-1 \right)+2x\] Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно: \[12-\left( x-6x\cdot x \right)=3x\cdot 2x-3x+2x\] \[12-\left( x-6{{x}^{2}} \right)=6{{x}^{2}}-x\] \[12-x+6{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}-x\] Теперь займемся уединением: \[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\] Приводим подобные: \[0=-12\] Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем: \[\varnothing \] или корней нет.

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования.

Перенос влево-вправо. Пример для младшеньких.) Допустим, надо решить вот такое уравнение: 3-2х=5-3х Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!» Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа?

3х ? Ответ неверный! Справа у нас — 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс.

Получится: 3-2х+3х=5 Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка.

С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс.

Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом.

Получим: -2х+3х=5-3 Остались сущие пустяки.

Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ: В этом примере хватило одного тождественного преобразования.

Второе не понадобилось. Ну и ладно.) Пример для старшеньких.)

Линейное уравнение и его решение

Линейным называется уравнение, в котором x — переменная входит в первой степени.

Почему линейное уравнение называется линейным? Потому что им описывается прямая (линия). Решать такое уравнение легко и просто — вам нужно просто разделить по разным сторонам от знака = неизвестные и известные в уравнении.

А далее применить необходимые преобразования, если они нужны, или сразу же найти корень уравнения.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.Видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Подпишись!Содержание страницы: Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 . Примеры линейных уравнений:

  • 3 x = 2
  • 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a .

В результате получим ответ: x = b a . Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет?

Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем.

Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые.

Получится уравнение вида a x = b .

Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  • 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.Попробуем преобразовать его к виду a x = b : Для начала раскроем скобки: 2 x + 1 = 4 x − 6 + 8 В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа: 2 x − 4 x = 2 − 1 − 2 x = 1 Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) : − 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5 Ответ: x = − 0,5

  • x 2 − 1 = 0

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

  • x ( x + 3 ) − 8 = x − 1

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум: x 2 + 3 x − 8 = x − 1 Это уравнение не является линейным уравнением. Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)Примеры:

  • 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение.

Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо: 2 x − 4 = 2 x − 4 2 x − 2 x = − 4 + 4 0 = 0 И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество).
Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество).

Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.Ответ: x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )

  • 2 x − 4 = 2 ( x − 8 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо: 2 x − 4 = 2 x − 16 2 x − 2 x = − 16 + 4 0 = − 12 В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как .

Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.Ответ: x ∈ ∅ Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  • Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  • Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  • Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  • Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  • Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  • Если D < 0, решений нет: x ∈ ∅>

Примеры решения квадратного уравнения:

  • − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7 D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64 D > 0 – будет два различных корня: x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7 Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

  • − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4 D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0 D = 0 – будет один корень: x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2 Ответ: x = 2

  • 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10 D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31 D < 0 – решений>Ответ: x ∈ ∅ Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом: a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом, x – переменная (то есть буква), x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так: a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2 Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

  • − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

  • − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2 Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

  1. c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
  1. b = 0 ⇒ применить для разности квадратов.

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.ОДЗ – область допустимых значений переменной.В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0 ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

  • Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
  • Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
  • Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
  • Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Пример решения дробного рационального уравнения:Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  • Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю: x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0 x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0 x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0 x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0 x 2 + x − 6 2 − x = 0 Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

  • Выписать ОДЗ:

g ( x ) ≠ 0 2 − x ≠ 0 − x ≠ − 2 x ≠ 2 Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

  • Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение.

Решаем через дискриминант. a = 1, b = 1, c = − 6 D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25 D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3 [ x 1 = 2 x 2 = − 3

  • Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге: [ x 1 = 2 x 2 = − 3 ОДЗ: x ≠ 2 Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Ответ: x = − 3. Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.Пример системы уравнений { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4 Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  • Метод подстановки.
  • Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  • Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  • Найти оставшуюся неизвестную.
  • Решить уравнение с одной неизвестной.
  • Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

Пример:Решить систему уравнений методом подстановки { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4 Решение:

  • Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

  • Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4 { x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

  • Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4 24 − 6 y − y = − 4 − 7 y = − 4 − 24 − 7 y = − 28 y = − 28 − 7 = 28 7 = 4 y = 4

  • Найти оставшуюся неизвестную.

y = 4 x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0 Ответ можно записать одним из трех способов:Ответ:

  • ( 0 ; 4 )
  • { x = 0 y = 4
  • x = 0, y = 4

Решение системы уравнений методом сложения.Метод сложения основывается на следующем свойстве:если { a = b c = d то ( a + c ) = ( b + d ) Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.Пример:Решить систему уравнений методом сложения { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4 Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты.

Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

{ x + 2 y = 8 | ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4 { ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4 { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет. { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕ ( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 ) − 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4 − 7 y = − 28 y = − 28 − 7 = 28 7 = 4 Осталось найти переменную x .

Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое. x + 2 y = 8 x + 2 ⋅ 4 = 8 x + 8 = 8 x = 8 − 8 = 0 Ответ можно записать одним из трех способов:Ответ:

  • { x = 0 y = 4
  • x = 0, y = 4
  • ( 0 ; 4 )

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз.

В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила. Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2. В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом: 2 = 10 − 8 То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x 8 + x = 10 В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8 2 = 10 − 8 А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8: x = 10 − 8 Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x x = 2 Мы решили уравнение.

Значение переменной x равно 2.

Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно: В результате получается верное числовое равенство.

Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8. x + 2 = 10 В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2 x = 10 − 2 x = 8 Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом: 8 = 6 + 2 То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2. Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x x − 2 = 6 В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2 x = 6 + 2 Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x x = 8 Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x 8 − x = 6 В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6. А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6 x = 8 − 6 Вычисляем правую часть и находим значение x x = 2 Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом: То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x x × 2 = 6 В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого. Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило: Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель. Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6.

Произведение 6 мы разделили на множитель 2. А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x x = 3 Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x. В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя.

Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель: Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое. Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x x = 2 Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя: Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель. Например, решим уравнение 9 × x = 18.

Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9 Отсюда

. Решим уравнение x × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем.

Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3 Отсюда

. Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом: 15 = 3 × 5 То есть умножили частное 3 на делитель 5. Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило: Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства .

Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5 x = 3 × 5 Вычислим правую часть получившегося равенства.

Так мы узнаем чему равна переменная x. x = 15 Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя. Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило: Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства .

Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3. А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3 Вычислим правую часть получившегося равенства.

Так мы узнаем чему равна переменная x. x = 5 Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

  1. Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
  2. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
  3. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
  4. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
  5. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
  6. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
  7. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;

Использование свойства степеней

Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения: \[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& {{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09.

\\\end{align}\] Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет. Но попробуем пойти другим путём.

Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители. Начнём с первого уравнения: \[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow {{21}^{3x}}={{\left( 7\cdot 3 \right)}^{3x}}={{7}^{3x}}\cdot {{3}^{3x}}. \\\end{align}\] Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21.

Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые: \[\begin{align}& {{7}^{x+6}}\cdot {{3}^{x+6}}={{\left( 7\cdot 3 \right)}^{x+6}}={{21}^{x+6}}; \\& {{21}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end{align}\] Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек. Теперь разберёмся со вторым уравнением.

Тут всё намного сложнее: \[{{100}^{x-1}}\cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09\] Прежде всего, сделаем то, что я рекомендовал ещё в самом начале урока — избавимся от десятичной дроби: \[{{100}^{x-1}}\cdot {{\left( \frac{27}{10} \right)}^{1-x}}=\frac{9}{100}\] В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте.

Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.

У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось.

Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны: \[1-x=-\left( x-1 \right)\Rightarrow {{\left( \frac{27}{10} \right)}^{1-x}}={{\left( \frac{27}{10} \right)}^{-\left( x-1 \right)}}={{\left( \frac{10}{27} \right)}^{x-1}}\] Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение: \[\begin{align}& {{100}^{x-1}}\cdot {{\left( \frac{10}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}; \\& {{\left( 100\cdot \frac{10}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}; \\& {{\left( \frac{1000}{27} \right)}^{x-1}}=\frac{9}{100}.

\\\end{align}\] Во второй строчке мы просто вынесли общий показатель из произведения за скобку по правилу ${{a}^{x}}\cdot {{b}^{x}}={{\left( a\cdot b \right)}^{x}}$, а в последней просто умножили число 100 на дробь. Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа!

Имеем: \[\begin{align}& \frac{1000}{27}=\frac{{{10}^{3}}}{{{3}^{3}}}={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{3}}; \\& \frac{9}{100}=\frac{{{3}^{2}}}{{{10}^{3}}}={{\left( \frac{3}{10} \right)}^{2}}.

\\\end{align}\] Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом: \[{{\left( {{\left( \frac{10}{3} \right)}^{3}} \right)}^{x-1}}={{\left( \frac{3}{10} \right)}^{2}}\] Дальше всё просто. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[{{\left( {{\left( \frac{10}{3} \right)}^{3}} \right)}^{x-1}}={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{3\left( x-1 \right)}}={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{3x-3}}\] При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь: \[{{\left( \frac{3}{10} \right)}^{2}}={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{-2}}\] Окончательно наше уравнение примет вид: \[\begin{align}& {{\left( \frac{10}{3} \right)}^{3x-3}}={{\left( \frac{10}{3} \right)}^{-2}}; \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac{1}{3}.

\\\end{align}\] Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.

Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители? Ответ на этот вопрос придёт с опытом.

Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы. А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.

В общем, желаю удачной тренировки. И увидимся в следующем уроке — там мы будем разбирать действительно сложные показательные уравнения, где описанных выше способов уже недостаточно. И простой тренировки тоже будет недостаточно.:)Смотрите также:

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать простейшие уравнения Онлайн?

Решить задачу как решать простейшие уравнения вы можете на нашем сайте .

Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе.

Так же вы можете посмотреть и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора. Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами.

Останется только переписать в тетрадь!

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному. А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые?

Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль.

Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение .

Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки: Приведем подобные слагаемые в левой части: Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Линейные уравнения.

Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения.

Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус».

Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.

Кроме того, правило работает и для неравенств. Примеры переноса слагаемого: Сначала переносим 5x Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем: Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)) .

Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2) и (2+7x) , так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅ 2) и (7x) .

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑ ⋅ 2) и (−3×2 ⋅ 7x) . Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга. Таким же образом преобразовывают неравенства: Собираем каждое число с одной стороны.

Получаем: 2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было.

А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-». Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений.

+ +